Diskrete Strukturen: Band 1: Kombinatorik, Graphentheorie, by Angelika Steger

By Angelika Steger

Vorlesung nach dem Münchener Curriculum mit Standardcharakter: Interessante Beispiele und Übungsaufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades helfen Studenten dabei, den Stoff leichter zu verstehen und einzuordnen. Die Autorin ist ausgewiesene Expertin...

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Verschiedene Permutationen der Menge [n] gibt. Die Anzahl der Zyklen einer Permutation kann zwischen 1, wie in der Permutation (1 2 . . n), und n, wie in der Permutation (1)(2) . . (n), variieren. Wenn wir mit sn,k die Anzahl Permutationen mit genau k Zyklen ben zeichnen, muss also k=1 sn,k = n! gelten. Die Zahlen sn,k heißen Stirlingzahlen erster Art. Statt der Bezeichnung sn,k wird zuweilen auch die Notation nk verwendet. Wir betrachten zunächst wieder einige Spezialfälle. Für alle k > n gilt sn,k = 0, denn eine Permutation einer n-elementige Menge kann höchstens n Zyklen enthalten.

Aus der Gleichheitsregel folgt daher, dass es genau Pn−k,k−i viele ungeordnete Zahlpartitionen von n mit k Summanden gibt, von denen genau i gleich 1 sind. Aus der Summenregel ergibt k k sich daher wegen i=0 Pn−k,k−i = j=0 Pn−k,j die im Satz behauptete Rekursion. Geordnete Zahlpartitionen. Bei geordneten Zahlpartitionen kommt es auf die Reihenfolge der Summanden an. So kann beispielsweise die Zahl 4 auf drei Arten als Summe von 2 positiven ganzen Zahlen geschrieben werden: 4 = 3 + 1 = 1 + 3 = 2 + 2.

Xk ) genau den geordneten Zahlpartition von n mit k Summanden entsprechen. 4) in den natürlichen Zahlen. Was ändert sich, wenn wir die Forderung, dass die xi natürliche Zahlen sind, abschwächen zu x1 , . . , xk ∈ N0 ? Auch hier kann man die Anzahl der Lösungen recht einfach bestimmen. Dazu verwenden wir die folgende Beobachtung. Da x1 + x2 + · · · + xk = n ⇐⇒ (x1 + 1) + (x2 + 1) + · · · + (xk + 1) = n + k, reicht es, die Lösungen der zweiten Gleichung zu zählen. Und da in der zweiten Gleichung zu jeder Variable eine 1 dazugezählt wird, müssen wir die Lösungen der zweiten Gleichung in N betrachten.

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