Höhere Mathematik mit Mathematica: Band 3: by Walter Strampp, Victor Ganzha, Evgenij V. Vorozhtsov

By Walter Strampp, Victor Ganzha, Evgenij V. Vorozhtsov

Dieser three. Band der vierbändigen Reihe Höhere Mathematik mit Mathematica setzt den Mathematik-Kurs castle, der mit den ersten beiden Bänden begonnen ist. Nach der dort behandelten Linearen Algebra und ein- und mehrdimensionalen research werden hier zwei der wohl wichtigsten Gebiete für den Praktiker behandelt: Gewöhnliche Differentialgleichungen und Numerik. Die Erklärung der mathematischen Sachverhalte und die Umsetzung in vielen Beispielen mit Mathematica machen es möglich, dass einerseits nicht nur akademische, weil mit geringem Aufwand rechenbare Aufgaben gestellt werden können, andererseits aber auch ein mächtiges Hilfsmittel zur Bewältigung mathematischer Fragestellungen vorgeführt wird. Zwei separate Verzeichnisse zu Sachwörtern und zu Mathematica-Befehlen erleichtern auch das spätere Finden der wichtigen Stichwörter und Befehle. Die zahlreichen Bilder sind Beispiele für die graphischen Fähigkeiten von Mathematica. Die Mathematica-Beispiele sind so aufgebaut, dass sie nicht von einer speziellen Mathematica-Installation oder -Version abhängig sind.

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5 Durch Y, (x) ~ U b(t). -<0," dt) e'~' Variation der Konstanten wird eine partikuLlire UiSlll1g der inhomQgenen GLeichung y' = a(x) y + b(x) gegeben. Beweis: Differenziert man und setzt anschlieBend in die inhomogene Gleichung ein, so wird man auf die Bedingung c~(x) = b(x)e-ii(x) fur die Funktion cp(x) gefiihrt. Es bleibt also, eine Starnmfunktion von b(x)e-ii(x) zu bestimmen: f x cp(x) = b(t)e-ii(t) dt . Xo Darnit haben wir diejenige Lasung Yp(x) der inhomogenen Gleichung gewahlt, die durch den Punkt (io, 0) geht.

Nun bestimmen wir eine Stammfunktion flir die exakte Differentialform. 3 geschilderte Methode. Die Bedingung a -G(x, y) = e- x 2y ay flihrt auf die Gestalt G(x, y) = e- x + hex) / mit einer noch zu bestimmenden Funktion hex), die wir durch die Bedingung a ax -G(x, y) = e- x (2x - x 2 -i) festlegen. Einsetzen ergibt: hi (x) = e- x (2x - x 2 ) , hex) = x 2 e- x also G(x, y) = und e- x (x 2 o + /) . Die Losungskurven ergeben sich demnach aus der Gleichung: e-x (x 2 + /) = c. 9 Wir bestimmen die allgemeine Losung der Differentialform 2x sin(y)dx + (x 2 - e-Y)dy = 0, x > 0,0 < y < rr.

Mit DSolve: DSolve[y'[x]==y[x]A2,y[x],x] {{y [x] I -> ---------}. -x + C[l] 2) a < 0: Mit a {y [x] -> O}} = _~2 schreiben wir die Gleichung y' = i + 1]2 , I] > O. Sie besitzt keine konstanten Uisungen. Separation der Variablen liefert: ~arctan (f) = x + e. Da der Wertevorrat von arctan durch das Intervall (-11:/2, 11:/2) gegeben wird, bekommen wir folgende allgemeine Uisung: y(x) Mit DSolve: = I] tan(~ (x + e)) , 11: 11: - - - e < x < - - e. 4 Separierbare Differentialgleichungen Clearly] DSolve[y' [x]==y[x]A2+delta A2,y[x] ,x] {{y[x] -> delta Tan[delta (x + C[l])]}} 3) a > 0: Mit a = 82 schreiben wir die Gleichung y' = i - 82 , 8 > O.

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