Maitriser l’aleatoire: Exercices resolus de probabilites et by Eva Cantoni, Elvezio Ronchetti, Philippe Huber (auth.)

By Eva Cantoni, Elvezio Ronchetti, Philippe Huber (auth.)

Cette deuxieme version revue et augmentee de Maitriser l'aleatoire est constituee de 245 exercices resolus qui couvrent tous les strategies de base des probabilites et de los angeles statistique.

L'ouvrage est constitution en neuf chapitres, contenant chacun une breve advent, des renvois bibliographiques vers des ouvrages plus specialises, ainsi qu’une serie d'exercices et leurs strategies detaillees. sessions par ordre croissant de difficulte, ces derniers permettront au lecteur d’apprecier l’etendue de sa development.

Ce livre peut etre utilise en supplement de n’importe quel manuel theorique de statistique et probabilites. En raison de los angeles grande diversite des exemples proposes, il conviendra `un lectorat varie : etudiants en sciences economiques, psychologie, sciences sociales, mathematiques, body, chimie, medecine ou biologie.

Il sera utilise avec revenue dans le cadre des enseignements de 1er et 2e cycles universitaires et pourra aussi largement interesser toute personne soucieuse de son autoformation.

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2. V´erifier que E(X) = 1/p. 3. V´erifier la propri´et´e « sans m´emoire » de la loi g´eom´etrique P (X > k | X > j) = P (X > k − j), k > j. 4. J’ai d´ecid´e de vendre ma maison et d’accepter la 1re offre d’achat sup´erieure a` K e. On suppose que les offres d’achat sont des variables al´eatoires ind´ependantes avec fonction de r´epartition F . Soit N la variable al´eatoire discr`ete suivante : N = nombre d’offres d’achat re¸cues avant de vendre la maison. Donner la loi de probabilit´e de N , c’est-`a-dire P (N = n), n ∈ N.

3. Quelle est la probabilit´e que parmi 6 composants, au moins 3 d’entre eux fonctionnent au moins 15 heures? Quelles hypoth`eses faites-vous? 4. Calculer E(X). 9 La quantit´e de pain (en centaines de kilos) qu’une boulangerie vend en 1 journ´ee est une variable al´eatoire X de fonction de densit´e  0≤x≤3  cx c(6 − x) 3 ≤ x ≤ 6 f (x) =  0 sinon. 1. Calculer la valeur de c. 2. Quelle est la fonction de r´epartition de X ? 3. Soit A l’´ev´enement : « le nombre de kilos de pain vendus dans une journ´ee est sup´erieur `a 300 kg ».

Consid´erons le cas pour lequel −1 < x < 1 x F (x) = P (X < x) = f (t)dt = −1 3 4 t− t3 3 t=x = t=−1 x2 3 x 1− 4 3 1 + . 2 Par cons´equent, la fonction de r´epartition est  0 si x ≤ −1   3 x2 1 + 2 si |x| < 1 F (x) = 4x 1 − 3   1 si x ≥ 1. 3. ∞ E(X) = xf (x)dx = −∞ 3 4 1 −1 (x − x3 )dx = 0. Ce r´esultat est ´evident car on int`egre une fonction impaire (xf (x)) sur un domaine centr´e sur 0. 3. 3 1. Si 0 < x < π/2 t=x x FX (x) = sin(t)dt = − cos(t) 0 = 1 − cos(x). t=0 Par cons´equent   0 1 − cos(x) FX (x) =  1 si x ≤ 0 si 0 < x < π/2 sinon.

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