Meccanica Quantistica Moderna, 5th Edition by J. J. Sakurai

By J. J. Sakurai

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La trasformazione inversa, ottenuta risolvendo le equazioni precedenti per x, y, z, t, coincide – ovviamente – con quella che si ottiene scambiando v in −v e le coordinate di S con quelle di S , x = γ (x + vt ) , vx t=γ t + 2 . 39) `e una diretta conseguenza del principio di relativit` a di Einstein, e si riduce a quella di Galilei nel limite v c. 42) che rappresenta la trasformazione di Galilei per due sistemi inerziali che si trovano nella configurazione standard di Fig. 4. 43) dove φ `e un parametro reale, e γ `e il fattore di Lorentz definito dall’Eq.

35), ed eguagliamo tra loro i coefficienti dei termini in x2 , t2 e xt. 37) la cui soluzione esatta `e data da: 1 a11 = a44 = a41 ± 1 − v 2 /c2 1 v =− 2 . 38) Per la radice quadrata va preso il segno positivo, affich`e la trasformazione si riduca a quella identica nel limite v → 0. 36) arriviamo infine alla trasformazione di Lorentz che collega i due riferimenti inerziali della Fig. 40) 1 − v 2 /c2 `e il cosiddetto “fattore di Lorentz”. La trasformazione inversa, ottenuta risolvendo le equazioni precedenti per x, y, z, t, coincide – ovviamente – con quella che si ottiene scambiando v in −v e le coordinate di S con quelle di S , x = γ (x + vt ) , vx t=γ t + 2 .

Opportuno sottolineare che d’ora in avanti – e a meno che non sia espliciE tamente indicato il contrario – adotteremo sempre la cosiddetta “convenzione della sommatoria”, secondo la quale due indici ripetuti (anche non consecutivi) in posizioni verticali opposte (uno alto e uno basso) si intendono sommati, anche se il simbolo non compare esplicitamente. Con questa convenzione l’Eq. 8) assume la semplice forma x μ = Λμ ν xν . 9) L’indice μ (che non `e sommato) viene detto indice libero, mentre gli indici ν (che sono sommati) vengono detti indici “contratti”, o anche indici “muti”.

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